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分家问题和拍卖（n+2nd version)

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标题: 分家问题和拍卖（n+2nd version) (842 reads) 时间: 2002-10-16 周三, 下午9:05

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

分家问题和拍卖

基本假设：(i)三兄弟中各人对房子（或汽车）的估值是他本人的private information；又每个人，包括父亲，都认为其他人的估值在某区间[10, 30] 上有独立的均匀分布，用线性变换：r->(r-10)/20可将这区间规范化成[0, 1]；(ii)三兄弟同时出价，出价最高者得到房子，按本人的出价付钱给父亲； (iii) 房子卖出后，钱给三个儿子平分。

Nash 均衡解之定义：我们的目的是要找出一个出价函数（bidding function）b=b(v), （又称bidding rule）；其中v是对房子的规范化后的估值，b是相应的出价，它使得，当其他人都按这个bidding rule来出价时，自己的最优决策也是按这个bidding rule来出价。

注解：由于基本假设中的(iii)，可以预料，bidding function不同于first price sealed-bid auction的情况。在first price sealed-bid auction中，胜者得到房子，但付出的钱完全拿不回来，而负者全无surplus；n个买者参与的first price sealed-bid auction，其 bidding rule是：b=(n-1)v/n。比如说，n=3 时，每个人的出价等于其估值的2/3。在我们这个问题中，胜者除了得到房子外，付出的钱还可拿回1/3；而负者可净得到胜者所付钱的1/3。

为不做繁琐的数学推导，我将直接验证b=3v/4是Nash bidding rule。假定兄弟中某人 A对房子的规范化估值为v，假定他叫价x。对A来说，当且仅当其他两兄弟依据这个bidding rule的叫价3v'/4和3v"/4都低于x他才会赢得房子，其中v’和v”是那两兄弟对房子的规范化估值。注意到prob(3v'/4 >x)=prob(v'>4x/3)=4x/3， prob(3v"/4>x)=4x/3，又v'和v"互相独立。A赢的概率为16x^2/9。他的 surplus是v-2x/3。从而对 surplus 的期望值的贡献是16x^2(v-2x/3)/9。

A输的情况有两种：(a)3v'/4>x and v'>v”或(b)3v"/4>x and v">v’，两者互斥。（v’=v”之概率为0；v’=x和v”=x之概率为0）在情况(a)下，对 surplus期望值的贡献是个积分：被积函数为(v'/4)v’，其中(v'/4)是A 分的钱，后面那个v’是事件[v" 小于 v']的概率；积分的结果为1/12-16x^3/81。根据对称性，在情况(b)下，结果相同。所以当A叫价失败时，仍有对 surplus期望值的贡献为1/6-32x^3/81。

综上所述，surplus之期望值为：E(x)=-128x^3/81+16vx^2/9+1/6。不难算出：E'(x)=-128x^2/27+32vx/9。容易验证，E(x)在x=3v/4时有最大值。所以 b=3v/4是 Nash bidding rule！

变换成原来数据，不难得到，15->v=0.25->b(v)=0.1875->13.75; 20->17.5; 25->21.25。三兄弟对房子的开价依次为13.75, 17.5, 21.25。最后个人的 surplus依次为7.083, 7.083, 10.834，总和为25。

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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