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 关于换钱包问题答小何 |
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作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
关于换钱包问题答小何
刚上完课回来，知道秋实君已解答了你的问题，很高兴。秋实君的解是正确的。本人不避画蛇添足之嫌，在下面给出一个较为简易的严格论证。为简单计，采用秋实君的记号x,y,X,Y；并假定X,Y有相同的连续正概率密度函数定义于区间[0, M)之上，这里M>0， 甚至可以为无穷大；关键的是要保证期望值e=E(X)=E(Y)为有限正数。
定义实数集S如下：
S = {s: 如果某局中人钱包的钱数量不超过s，他就愿意和对手交换}
我们的证明分两步完成：
１。数集S有上界，因而有上确界：
事实上如果s>e，那么局中人绝对不会同意和对手交换，因这时对手钱包中钱的期望值小于s。这就是说e为数集S一个上界。一个有上界的实数集必有上确界（这里等同于最小上界），我们以m表示之。
２。m=0：
用反证法。如果m>0，即任何局中人在钱不多于m时就愿意和对手换，而在钱多于m时就不愿意和对手换；假设A的钱数刚好为m，请注意在B愿意交换的条件下，B的钱数绝对不会超过m，跟据连续分布假设，这时B的钱数的条件期望值必小于m。因此A和B交换A是肯定吃亏的！这一矛盾说明只能有m=0。
总而言之，任一局中人不会愿意和对手交换，除非他钱包是空的！（这时交换不交换都无所谓了。）
作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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