阅读上一个主题 :: 阅读下一个主题 |
作者 |
分家问题中Nash 叫价函数的推导 |
 |
yqy [博客] [个人文集]
游客
|
|
标题: 分家问题中Nash 叫价函数的推导 (505 reads) 时间: 2002-10-17 周四, 上午9:19 |
|
|
作者:Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
分家问题中Nash 叫价函数的推导
假定b=B(v)是待定的Nash 叫价函数,有理由认为B(v)严格递增,因而反函数v=V(b)存在。
假定兄弟中两人按这函数开价B(u), B(w)。现考虑另一人的开价问题,假设他对房子的估值为v,开价为x。对他来说,u 和 w 是一对独立的随机变量,(u,w) 在单位正方形 [0, 1]X[0, 1] 上有均匀概率分布。
这个人可将单位正方形划分为三部分,两两互不重叠:(1) u 小于V(x), w 小于V(x); (2) u 大于 V(x) and w 小于 u; (3) w 大于 V(x) and u 小于 w。这三部分合起来测度为1,除了公共边界外,覆盖了整个正方形。
当(u,w)在(1)中时,这个人应得房子,surplus 为 v-2x/3。(1)的面积为[V(x)]^2。
当(u,w)在(2)中时,这个人所得为B(u)/3。因为u的取值在(2)中可变化,这个人所得的期望值可以用而重积分或单积分来算,u 的积分限为[V(x), 1],当u 确定时,w 的积分限为[0, u]。简化后,它是uB(u)/3 在 [V(x), 1] 上的积分, 记为 J(x)。
当(u,w) 在(3)中时,结果和(2)相同。
于是,当叫价x时,这人的expected surplus 是:
E(x,v)=[V(x)]^2(v-2x/3)+2J(x)
按照假设,当x=B(v) 时,E(x,v) 应取最大值,因此
partial E/partial x = 0 at x=B(v):
2V(x)[dV/dx] (v-2x/3) - 2[V(x)]^2/3 - 2[dV/dx]V(x)B(V(x))/3 =0 at x=B(v) (*)
此处用到:
dJ/dx = - 2[dV/dx] V(x)B(V(x))/3
在 (*) 中以x=B(v)代入,得:
2[dV/dx]v[v-2B(v)/3] - 2v^2/3 - 2[dV/dx] vB(v)/3 = 0
注意到 dV/dx =1/[dB/dv] ,可得微分方程:
2v[dB/dx]/3 + 2B -2v = 0
容易验证,B(v)=3v/4是个解!
作者:Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
|
|
返回顶端 |
|
 |
|
|
|
您不能在本论坛发表新主题 您不能在本论坛回复主题 您不能在本论坛编辑自己的文章 您不能在本论坛删除自己的文章 您不能在本论坛发表投票 您不能在这个论坛添加附件 您不能在这个论坛下载文件
|
based on phpbb, All rights reserved.
|