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作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
分家问题中Nash 叫价函数的推导
假定b=B(v)是待定的Nash 叫价函数，有理由认为B(v)严格递增，因而反函数v=V(b)存在。
假定兄弟中两人按这函数开价B(u), B(w)。现考虑另一人的开价问题，假设他对房子的估值为v，开价为x。对他来说，u 和 w 是一对独立的随机变量，(u,w) 在单位正方形 [0, 1]X[0, 1] 上有均匀概率分布。
这个人可将单位正方形划分为三部分，两两互不重叠：(1) u 小于V(x), w 小于V(x); (2) u 大于 V(x) and w 小于 u; (3) w 大于 V(x) and u 小于 w。这三部分合起来测度为1，除了公共边界外，覆盖了整个正方形。
当(u,w)在(1)中时，这个人应得房子，surplus 为 v-2x/3。(1)的面积为[V(x)]^2。
当(u,w)在(2)中时，这个人所得为B(u)/3。因为u的取值在(2)中可变化，这个人所得的期望值可以用而重积分或单积分来算，u 的积分限为[V(x), 1]，当u 确定时，w 的积分限为[0, u]。简化后，它是uB(u)/3 在 [V(x), 1] 上的积分， 记为 J(x)。
当(u,w) 在(3)中时，结果和(2)相同。
于是，当叫价x时，这人的expected surplus 是：
E(x,v)=[V(x)]^2(v-2x/3)+2J(x)
按照假设，当x=B(v) 时，E(x,v) 应取最大值，因此
partial E/partial x = 0 at x=B(v)：
2V(x)[dV/dx] (v-2x/3) - 2[V(x)]^2/3 - 2[dV/dx]V(x)B(V(x))/3 =0 at x=B(v) (*)
此处用到：
dJ/dx = - 2[dV/dx] V(x)B(V(x))/3
在 (*) 中以x=B(v)代入，得：
2[dV/dx]v[v-2B(v)/3] - 2v^2/3 - 2[dV/dx] vB(v)/3 = 0
注意到 dV/dx =1/[dB/dv] ，可得微分方程：
2v[dB/dx]/3 + 2B -2v = 0
容易验证，B(v)=3v/4是个解！
作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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