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作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
不可能事件，零概率事件，加法公理
数日前一些网友在争论中涉及到零概率事件和不可能事件的概念，有人还提到“随机地选一个自然数，每个特定的自然数被选中的概率是否为零”这个有趣问题。其实所有这些问题都和概率的定义有关。本文在此做个简介。
严格的概率定义不是根据偶然事件发生的频率来引进的，这是因为偶然事件发生的频率本生就是个随机变量，没有确定的取值。数学中概率的定义由一组公理引入。
假设S是个点集。由S的一族子集组成的集族F称为事件体，如果(i) S属于F; (ii) A属于F蕴含着S\A 属于F；并且(iii) F中任何可数多个（S的）子集的并（union）也属于F。
S每个属于F的子集叫做一个事件。定义在F上的一个测度p叫做概率测度，如果(a) p(A)>=0 对任何事件A; (b) p(S)=1; (c) 任何有限或可数无穷多个两两互斥的事件的并之概率等于各个事件的概率之和。其中(c)所规定的性质叫做概率的s-可加性。
全空间S代表的事件称必然事件，它的概率为1；空集O代表的事件称不可能事件，它的概率为０。但是必须注意，概率为1的事件不必是必然事件；概率为零的事件不必是不可能事件。
举一例作说明。假定一个几何点一定落在区间[0, 1]上并且落在任何一处的概率都相同，那么它落在有理点上的概率为零，（[0, 1]上全体有理数构成个零测度集）尽管[0, 1]上有无限多个有理点因而这事件并非不可能事件；同时它落在无理点上的概率为1，虽然这个事件并非必然事件。
关于任选一个自然数的例子，根据s-可加性或根据实际操作，都不可能有每个自然数被选中的概率相同 －－ 如果每个自然数被选中的概率都为0，那么根据s-可加性，全空间代表的事件概率就为0；如果每个自然数被选中的概率都为同一正数，那么根据s-可加性，全空间代表的事件的概率就为无穷大；两者都导出矛盾。所以当S有可数无穷个点时，每个单点集代表的事件（基本事件）的概率不可能完全相等。这和上例不同，因为[0, 1]上的点有不可数无穷多！
作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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