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 【博弈论漫谈·互动认识论】解答换钱包问题 |
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【博弈论漫谈·互动认识论】解答换钱包问题 -- Anonymous - (4404 Byte) 2002-4-05 周五, 上午5:37 (762 reads) |
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作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
【博弈论漫谈·互动认识论】
互识·共识·华容道
云儿
“知己知彼，百战不殆”这八个字，可说是古往今来无数兵家梦寐以求的最高
境界。然而，现实中迫于种种限制，没有人有这样的本事，可以把己方敌方各种因
素全都了然于胸，详尽无遗。人们在不得不作出决断时，往往只有不完全的信息和
知识。明智的人之所以明智，是他在作决定前，不仅清楚了解自己的无知，懂得自
己知道什么和不知道什么；而且还充分利用已有的知识，去推断对手知道什么不知
道什么，以及对手知道他自己知道什么，等等。所谓“料敌机先”，就是这种互动
思维的结果。
《三国演义》中这类互动思维的例子不少，第五十回“诸葛亮智算华容”便是
其中之一。小说写道，曹操大败于赤壁，残兵败将来到华容道口。
正行间，军士禀曰：“前面有两条路，请问丞相从那条路去？”操问：“那
条路近？”军士曰：“大路稍平，却远五十余里。小路投华容道，却近五十
余里；只是地窄路险，坑坎难行。”操令人上山观望，回报：“小路山边有
数处烟起；大路并无动静。”操教前军便走华容道小路。诸将曰：“烽烟起
处，必有军马，何故反走这条路？”操曰：“岂不闻兵书有云：‘虚则实之，
实则虚之。’诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路走，
他却伏兵于大路等着。吾料已定，偏不教中他计！”诸将皆曰：“丞相妙算，
人所不及。”遂勒兵走华容道。
结果，正好撞进诸葛亮设下的埋伏。要不是关羽义气深重，放他一马，曹操便就此
完蛋了。
这段故事极力渲染，曹操落败的关键，在于他的互动推理能力，逊于诸葛亮一
筹。初看确是如此。曹操和诸葛亮都知道对方熟读兵书，懂得“虚则实之，实则虚
之”的道理，因而都对“以虚为实”的把戏有所警惕；但诸葛亮更进一步，料到曹
操知道自己懂得此道理，于是乎故意反其道而用之，来个“实则实之，虚则虚之”；
曹操则未能越过这一步，去推想诸葛亮在知道曹操熟读兵书时，会怎么应付。曹操
那段“偏不教中他计”的自负言语，显示他并未料到，诸葛亮已经知道他懂得兵书
上的虚实之道，早就拟定了相应的对策。否则，象曹操这么聪明的人，绝不会避虚
就实，偏往敌人的圈套里钻。曹操之败，不是败在“知彼”——知道对手懂得什么
——上面，而是败在“知彼”的二次方——知道对手知道自己懂得什么——上面。
可见，曹操中计，乃是不能充分贯彻互动推理的结果。设若曹操料到诸葛亮知
道曹操懂得“虚则实之”的道理，就不难料到诸葛亮可能反其道而行之，从而避免
走华容小道。当然，诸葛亮也可以反过来作更进一步的互动推理，去推想曹操料到
诸葛亮知道曹操懂得虚实之道时，可能采取的对策。再反过来，曹操又可以更进一
步推理，去考虑诸葛亮知道曹操料到诸葛亮知道曹操懂得虚实之道时，所应采取的
对策，等等。如此交错往复，这一推理链条可以无穷延续下去，达到“知己知彼”
的三次方，四次方，五次方....。不难看出，在任何有限次推理链条中，总有一人
比对方多想一步，料敌机先而取胜。这就提出一个有趣的问题：以曹操和诸葛亮的
明智，假如他们双方都把互动推理贯彻到底，延续至无穷，结果会有所不同吗？
≈ ≈ ≈
回答这个问题，涉及到现代博弈论中一个重要概念——共识（common knowledge）。
在博弈论里，共识是相对于一个事件和一群人来说的。一个事件，如果一群人中每
个人都知道它，我们就说它是互识（mutual knowledge）。如果更进一步，不仅人人
都知道它，而且人人都知道别人知道它，人人都知道每个人知道别人知道它，如此
以至无穷，我们就说它是这群人的共识。在许多场合，共识的力量，往往出乎许多
人意料。
让我们暂且抛开华容道上刀光剑影，先玩一个小小的智力游戏，略微体会一下
共识的妙用。
两个小朋友，绝顶聪明。老师先蒙上他们眼睛，各给戴上一顶红帽子。然后让
他们面对面睁眼坐着，对他们说：“帽子只有两种颜色：红的和白的。你们能猜出
自己头上帽子的颜色吗？”
答案自然是“不能”。因为他们看不见自己的帽子，只看得见别人头上的帽子。
单从对方帽子是红的，推不出自己的帽子是红还是白。于是老师又提示说：“你们
的帽子至少有一顶是红的。现在我从１开始数数。每数完一个数，猜到了自己帽子
颜色的，就有一次机会举手报告。猜对了的有糖吃，猜错了的打屁股。”结果，老
师数到２时，两个聪明的小朋友都举起手，说出了帽子的正确颜色。
你知道他们是怎么推理的吗？
先想想，再往下看答案。/^
对了，每个小朋友都可以这样推理：已知有一顶帽子是红的；假设我头上帽子
是白的，对方立刻就知道他自己的帽子是红的，因此当老师数１时就该举手；既然
他在老师数１时没举手，说明我头上帽子不是白的是红的。所以，在聪明的小朋友
眼里，老师数到２时，答案便已经昭然若揭了。
有人要问了，以上推理与共识有什么关系？
有关系的。想想看，在老师提示之前，每个小朋友都看见对方戴着红帽子，每
个人都知道至少有一顶红帽子，为什么他们还是猜不出自己帽子的颜色？老师的提
示，似乎只是说出了大家都知道的事实，为什么会造成那么大的区别？
答案是，老师提示之前，“至少有一顶红帽子”的看法，是互识而不是共识：
我看得见对方的帽子，故而知道有一顶红帽子；然而却不知道对方知不知道有一顶
红帽子，因为我看不见自己头上的帽子。不难看出，老师提示的作用，就是把“至
少有一顶红帽子”的看法，由互识变成了共识：我不仅知道有一顶红帽子，也知道
对方知道有一顶红帽子，知道对方知道我知道有一顶红帽子，等等。小朋友推理中
最关键的一环是，我知道对方知道有一顶红帽子，知道他可以从我戴白帽子，推导
出他自己戴红帽子来。这一环，没有共识的支撑，显然是不可能的。
正是有了共识，聪明人便可根据有限的片面信息，以及彼此的行为反应，去推
测较全面的事实真相。这就是共识的力量之所在。
为了欣赏共识的力量，我们不妨把上面这个智力测验题搞得复杂一点：假设有
100个聪明的小朋友，都被戴上红帽子；每个人只看得见另外99个人的帽子，不知自
己帽子颜色；老师提示说：“至少有一顶红帽子”，然后开始数数。请问，老师最
多数到多少，所有小朋友都可以猜出自己帽子的颜色？再问，老师提示之前，“至
少有一顶红帽子”，是共识还是互识？这两个问题很有意思，不过解释起来太费笔
墨，此处只好省略了。如果你能解答这两个问题，就证明你有了不起的互动推理能
力，至少不比诸葛亮差。(参考答案：100，互识。)
≈ ≈ ≈
回到华容道的例子。只要互动推理次数有限，“我知道你知道....双方懂得虚
实之道”的推理链条，必有一人不能把它继续下去，从而败在“知己知彼”的某次
方上。因而，就曹操和诸葛亮而言，“对方懂得虚实之道”的事实，只是互识而不
是共识。一旦斗智双方都具有足够的理性，可以把互动推理链条无限延续下去，事
情就起了根本性变化。曹操和诸葛亮双方都懂得虚实之道，连同双方都具备充分理
性的事实，将成为共识。这一共识的第一点推论就是，任何一方都不能合理地推断，
自己能做到料敌机先。他清楚地知道，不管自己推到哪一步，对方都可能比他多想
一步。因此，认定自己能做到料敌机先，必定是对局势判断有误，本身就是非理性
的。
华容博弈的局势，可以用下面的矩阵框图来表示：
诸葛亮
虚 实
┼────┬────┤
虚│ -1,1 │ 1,-1 │
曹操 ├────┼────┤
实│ 1,-1 │ -1,1 │
┴────┴────┘
图中竖向的两列，代表诸葛亮的两种可选策略：“虚”（实则虚之）和“实”（实
则实之）；横向的两行，则代表曹操的两种不同策略：“虚”（避实就虚）和“实”
（避虚就实）。格子中的数字表示结果，其中-1代表失败，１代表取胜。如果双方
都采“虚”的策略或“实”的策略，则操负而亮胜，结果为（-1,1）；反之，若双
方所采策略不同，则操胜而亮败，结果为（1,-1）。理性共识的第二个推论就是，
曹操和诸葛亮双方都对这一博弈局势有正确的了解。
根据《三国演义》的描写，曹操判断诸葛亮采取“虚”（实则虚之）的策略，
而诸葛亮判断曹操采取“实”（避虚就实）的策略，结果操败亮胜。前面的分析指
出，这样一组判断，不可能成为理性共识。因为曹操一旦知道诸葛亮判断自己会避
虚就实，就知道诸葛亮必采“实则实之”策略，而不是原先猜想的“虚则实之”。
事实上，任何一组关于对方肯定会采取某一策略的判断，都是与理性共识不相容的。
持有这样的判断，必是自身不能善用互动推理，或假定对方不够理性的结果。
那么，什么样的判断能成为理性共识呢？华容博弈中，唯一能成为理性共识的，
是这样一组判断：诸葛亮判断曹操选择“虚”和“实”的可能性是一半对一半，曹
操也判断诸葛亮选择“虚”和“实”的可能性各是二分之一。对其中任何一方来讲，
既然对方选择“虚”和“实”的概率都一样，则无论他选择什么策略，赢面和输面
都是对半开，没什么区别。所以，到底选择哪个策略，对他是无所谓的事。这反过
来印证了对方对他行为的判断是有道理的。不难证明，唯有这样一组判断，才能通
过无穷递归的互动推理检验。双方所能争取的最好结果，就是胜负面对半开，预期
的结果为（0，0）。
所以，在理性共识下，根本用不着斗智逞巧，双方各以二分之一概率随便挑一
个策略，然后各凭运气可也。
以此学识，我们可以用另一种眼光，去看《三国演义》的描写。诸葛亮和曹操
都是聪明而理性的人，他们清楚地知道，华容博弈，胜负全凭运气。诸葛亮随便挑
了个“实则实之”的把戏。曹操则暗中卜一卦或掷铜钱，决定了走华容道，却编一
套“偏不教中他计”的瞎话，用来搪塞诸将的询问（奸雄嘛！）。双方都没有犯错。
最后曹操撞进埋伏，乃是凑巧。或者说，天不与操尔，非智不如人也。
精明到了极致，反而无所用其精明。大智毋需弄巧，此之谓也。
1999年7月11日
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