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 谈谈公理化的热力学第二定律 |
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断章师爷
[个人文集]
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加入时间: 2009/08/25
文章: 615
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作者：断章师爷 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
谈谈公理化的热力学第二定律
断章师爷
日前与小友邬君聊天，得悉温州有一名自称“科学巨人”的赵兴龙先生找到当地报社表示，他已经“推翻了”热力学第二定律，并且在中国科大和浙大等好几所高校悬奖 50万征求能推翻他的逻辑反例。国内的《电力出版社》已经正式出版了赵先生写的一本关于永动机基础理论的专著。官方的“新华社”也多次对赵兴龙先生的事迹进行报导。此事还引起国家教育部高教司的高度重视，某位院士还向其他专家传递过赵兴龙先生的论文。
对于中国工人阶级发挥大无畏的革命精神（据小邬介绍，这位自学成才的赵兴龙先生发家致富前系温州某汽车修理厂工人。）攀登科学高峰的勇气，我是素来感到“与有荣焉”的；对于“我党”的舆论喉舌见微知著地报导“民间科学家”动人事迹的恢宏雅量，我早在大跃进年代当小学生那会就领教过了；对于国内教育部门领导的素质和学术界院士的水准，我也是耳闻目睹“长远哉”。尽管热力学正是我数十年来赖以谋生的几种微末技能之一，我却没有半点兴趣去领教这位“科学巨人”发明的永动机原理的奥妙。
其实，不光是这位温州城里身价上百万的“科学巨人”对于发展科学事业具有超人的热诚。国内不少人文学者也大都以探讨相对论、热力学第二定律、测不准原理和光的波粒二相性等话题为时髦，其口气之豪迈，其见解之深刻，其结论之新颖，往往令我这个混迹于物理学界的伧父咋舌! 为何国内会涌现哪么多的民间科学家呢？我想过去无非还是大跃进和文革期间无限夸大人民群众的创造性，对于知识、知识分子和专业人才的蔑视，流传至今的遗害。
《独立评论》上有位先生连数学中的加和公式都不会使用，居然就有胆量发明一个计算“智熵”的公式，而且公然勒令熵的统计力学表示式中的波尔兹曼常数等于1! 我和这位高人就他发明的“智熵”开过笔战，讨论的结果是他怀疑我的学历有造假的嫌疑，并且让他念念不忘地记恨到如今。无独有偶，前不久隔壁论坛也有一位大牌写手构思过一篇《第一象限45度逆矢》，拜读之余，令我喷饭。这位先生连普朗克常数和约化普朗克常数之间的区别都不曾弄清楚，竟然大言炎炎地“由普郎克常数的量纲解读测不准关系式 ”。还别出心裁地杜撰了“逆矢”这个名称!在用似正则倒易原理证实的Robertson-Schrödinger 条件上建立的微观测不准关系竟然被他老先生当作初中课堂里学到的代数不等式来解读，我实在是无话可说了。我这个人脑筋比较死板，学什么都比别人慢几拍。不怕诸位才俊见笑，当初为了理解“熵”的概念，我这个笨学生不知耗费了几多脑神，反复端详着那张由2个等温过程和2个绝热过程组成的卡诺循环图，一遍又一遍地对照教科书上那些功、热量、温度、状态、可逆过程和孤立系统的定义，十足“磨蹭”了好几个日日夜夜，天可怜见，最后终算捅破了窗纸，才恍然大悟，熵何谓也？然而，目下“熵”和“耗散结构”之类物理学专有名词之于当代中国诗人，早已经是熟極而流﹑熟極而濫了。足见，不同的人脑拥有的智商之间的差别何啻云泥？
现行的物理学教科书上关于热力学第二定律的介绍，不管是采用克劳修斯叙述还是采用开尔文叙述，字里行间都显露了太多的哲学玄机。经历过那个年代的国人，几乎人人都活学活用过太祖那两本可以放之四海的哲学著作。此外，对于西方资产阶级学者发现的科学定律，东方无产阶级民众具有一种与生俱来的抵制本能和批判爱好。难怪神州大陆会前赴后继地涌现出那么多试图推翻热力学第二定律的民间科学家!
然而，这些充满激情和热情的民间科学家们可能不知道世上还有一种公理化的热力学第二定律，即所谓喀喇氏叙述（Carathéodory statement）。如果了解这种公理化的热力学第二定律的背景后，估计他们高涨的革命热度多少会降些下来。据我所知，文革前国内出版的各类热力学书籍中只有王竹溪先生编撰的那本《热力学》中介绍过喀喇氏叙述。我想通过这篇文字大略介绍一下喀喇氏所创立的公理化热力学体系。
所谓公理化，其实是一种数学方法。公理化方法在近代科学的发展中起过巨大的作用，它对于现代数学和物理学的各个分支都有极其深刻的影响。从古希腊亚里斯多德的完全三段论到欧几里得的《几何原本》的问世，可以看做是公理化方法发展的第一个阶段。欧氏认为“公理” (例如如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对对应边相等的两个三角形全等)则是需要由公理出发来证明的。《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，尤其是第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公理的说服力，并不自明。19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(Никола́й Ива́нович Лобачевский，1792-1856)在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的罗巴切夫斯基几何系统。
19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert，1862-1943)在他的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie ,Leipzig, 1899）一书中系统地提出了数学的公理化方法。他认为每一种数学理论部应以“基本概念 公理 定理” 的模式来建立。这里的公理是作为理论出发点的科学假设，公理化方法的演绎过程是一种严密的逻辑思维过程。 希尔伯特认为一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：
1．相容性(或称协调性)。这是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理。
2．独立性。这是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来。
3．完备性。这要求确保从公理系统中能推出所研究的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少。
20世纪以来整个数学体系几乎都已按希尔伯特的模式得到公理化处理。此外，波兰数学家巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）完成了理论力学的公理化。爱因斯坦也运用公理化方法创立了相对论理论体系。狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理。爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”。这些就是爱因斯坦运用公理化方法创立的狭义相对论完整理论体系的精髓。
而热力学体系的公理化工作则由德国的喀喇氏完成。喀喇氏（Constantin Carathéodory，1873-1950）的父母是希腊人，他本人出生在柏林。他的父亲曾任土耳其奥斯曼帝国驻比利时的大使，因此喀喇氏是在布鲁塞尔长大的。他在高中念书时就获得全比利时中学生数学最佳奖。1902年他进入德国哥廷根大学，在闵可夫斯基教授（Hermann Minkowski，1864-1909）的指导下攻读数学。1908年到1920年间，他相继担任波恩、汉诺威、哥廷根和柏林等大学的数学教授。1921年应当时希腊王国的总理之邀为斯密尔纳大学（University of Smyrna ）筹建数学研究所。从1924年起，出任慕尼黑大学的数学教授，一直到1950年去世为止。
1909年，喀喇氏在德国《数学年鉴》上发表了一篇题为《关于热力学基础的研究》的文章[1]。16年后他又在《普鲁士科学院物理学和数学会刊》上发表了一篇《借助可逆过程对于能量和绝对温度的计算》[2]，该文更具有解释性，也提供了更多的结论。正是通过了这两篇文章，喀喇氏奠定了公理化的热力学体系。
喀喇氏运用纯数学的演绎方法得出了热力学关系式，完全绕开了通常假设的热机引擎和热量流动等工程概念。他把注意力完全集中在微分方程的几何属性上，力图使热力学体系“几何化”。就象同一时期爱因斯坦对于重力所进行的工作一样。
喀喇氏的这两篇文章发表后，当时在物理学界并未曾引起多大的反响。直到1923年他的朋友波恩（Max Born，1882-1970，1954年物理学诺奖获得者）写了三篇重要的文章《对于热力学的传统表示的批判性反思（1，2，3 ）》[3][4][5]进行介绍后，才使得包括普朗克（Max Planck ，1858-1947，1918年物理学诺奖获得者）、泡利（Wolfgang Pauli，1900-1958，1945年物理学诺奖获得者）和钱德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar，1910-1995，1983年物理学诺奖获得者）等著名物理学家先后研究过喀喇氏的工作。热机引擎和热力学循环是卡诺、开尔文和克劳修斯等应用的工程方法的根基，喀喇氏工作的重要性在于他在根本摒弃了热机引擎和热力学循环的前提下，完全运用数学的手段演绎得到了上述诸人一样的热力学关系式。其实亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz，1821-1894）早在喀喇氏以前就提出定义温度和熵等概念时，并不一定需要借助热力学循环的。然而喀喇氏所使用的方法显示了那麽优雅的数学形式，吸引了越来越多的物理学家的兴趣，他们都致力于修改喀喇氏方法使之在数学上更加完善，或者致力于喀喇氏方法的推广使之应用于更多的领域。在众多诸人之中，普朗克的工作最为出色。他高度欣赏喀喇氏方法的数学技巧，但是他也尖锐地指出喀喇氏方法并没有对于熵提供一种非接受不可的物理图象。同时他又认为开尔文和克劳修斯的定义更加接近实际过程，也就是说更容易为实验所证实。普朗克本人对于热力学体系的处理可以说是结合了开尔文和克劳修斯的工程研究以及喀喇氏的数学演绎这两种流派的优点。
喀喇氏这两篇文章涉及的数学运算比较繁复，我不可能在这儿把有关的算式逐一具体列出。因此只能试着用文字把喀喇氏方法最基本的纲概叙述出来。真有兴趣的读者可以参阅原文。（见参考文献[1]和[2]）
喀喇氏使热力学体系公理化的处理是从 Pfaff方程出发的。Pfaff 方程是以德国数学家帕福（Johann Friedrich Pfaff，1765-1825）的姓名命名的一类微分方程。
该方程的左面是某个函数 f 的微分df；右面则是一个加和符号，相加的 i个项( i 的取值从 1 到 n )分别是 i 个自变量 xi 与其各自对应的函数Yi 的乘积。
如果方程中包含的各项函数 Yi 满足与路径积分无关的条件，那麽 Pfaff方程可以表示成全微分形式。
在这种情况下， f 就是一个与路径无关的状态函数。检察某个方程是否为全微分方程的充分必要条件是Schwarz 关系。
根据 Schwarz 关系，可知当 df＝0 时，Pfaff 方程是一个正合微分方程（exact differential equation)。
在特殊的绝热转变情况下，喀喇氏证明了Pfaff方程是一个正合微分方程。（具体证明过程从略)
对于理想气体的一般热力学过程，喀喇氏同样证明了 Schwarz 关系成立，也即表明 Pfaff方程是一个正合微分方程。（具体证明过程从略)
如果在某种情况之下Pfaff方程是一个非正合微分方程，喀喇氏指出可以借助一个积性函数（multiplicative function)，也即所谓的积分因子来使之转变成正合方程。
喀喇氏将理想气体的关系式代入Pfaff 方程后，得出了熵的微分dS 的表示式（具体推导过程从略)。由于这时Schwarz 关系成立，因此他顺理成章地得出 S 是状态函数的结论。
喀喇氏的所有证明和推导，完全是建立在公理化的数学运算结果上的，脱离了任何热机引擎或热力学循环等工程背景。所以经过这样处理得到的是公理化的热力学体系。
最后介绍一下数学家帕福（Pfaff)其人。有人询问拉普拉斯“在德国的最伟大数学家是谁？”拉普拉斯回答说“最伟大的数学家在德国是帕福，在欧洲则是高斯。”
参考文献
[1] C. Carathéodory ，Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik ，Math. Ann. 67 (1909) 355–386.
[2] C. Carathéodory， Über die Bestimmung der Energie und der absoluten Temperatur mit Hilfe von reversiblen Prozessen，Preuss.Akad. Wiss. Phys. Math. K1 (1925) 39– 47.
[3] M. Born, Kritische Betrachtungen zur traditionellen Darstellung der Thermodynamik, Physik Z. 22(1921) 218–224.
[4] M. Born, Kritische Betrachtungen zur traditionellen Darstellung der Thermodynamik, Physik Z. 22(1921) 249–254.
[5] M. Born, Kritische Betrachtungen zur traditionellen Darstellung der Thermodynamik, Physik Z. 22(1921) 282–286.
作者：断章师爷 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
上一次由断章师爷于2010-7-22 周四, 下午1:06修改，总共修改了1次 |
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