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作者 介绍钱学森先生六十四年前的一篇旧文   
断章师爷
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加入时间: 2009/08/25
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文章标题: 介绍钱学森先生六十四年前的一篇旧文 (1668 reads)      时间: 2010-2-18 周四, 上午11:56

作者:断章师爷驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org

介绍钱学森先生六十四年前的一篇旧文

断章师爷

元旦以后我一直在准备资料写一篇综述,讨论几类特殊体系的流变性能。断断续续花了将近两个月时间,查阅了不少篇文章才基本就绪。搜集过程中发现好几篇与流体力学有关的文章附的参考文献中都列出了钱学森先生1946年发表的一篇文章《二维可压缩亚音速、超音速无旋混合流和上临界马赫数》。文章的作者有两人,排在前面的是钱先生,他的姓名拼写是Hsue-shen Tsien,另一位是 Yung-huai Kuo,查了一下《百度》才得知是郭永怀先生[1]。据《百度》介绍,该文是标志钱先生学术理论水准的代表作之一。因此勾起了我的好奇心,想借来看看。

原文发表在NACA(美国国家航空咨询委员会的英文National Advisory Committee for Aeronautics 的缩写,系美国国家航空航天局NASA的前身。)的技术报告汇集中,编号是995。为了借阅此书,很费了番周章,系里的资料室没有,学校图书馆的那本被另一位读者借去了,后来是通过网络图书馆联线,从外校借来的。由于年代久远,那本报告集的纸页都发黄变脆了,看起来必须相当小心。为了方便阅读,我索性全文拷贝下来,原文是打字稿,光是正文就印了138张A4纸,拿在手里厚厚的一叠,沉甸甸的很有些份量,简直就是一本booklet。

全文分为五个部分,第一部分是可压缩流动的微分方程和它们特解的性质;第二部分是(飞行)物体周围流动的解的建立;第三部分是借助超几何函数的渐近性质改善解的收敛性;第四部分是上临界马赫数的判据;第五部分是椭圆柱体的应用(实例)。

在文章的第一部分中列出了四组关系式。第(1)组是流体运动的微分方程,也就是Newton第二定律在流体中的书写形式:当没有外力存在时,X方向的诸力(包括两项由速度梯度引起的粘滞力和一项压力)之和为零;Y方向的方程与X方向完全对称。第(2)组是流体运动的连续性方程,也就是流动时质量守恒的数学关系式。第(3)组是假设流体状态的热力学改变是等熵的,因此得到的压强和密度的函数关系(文中采用的是Thomson关系)。第(4)组是无旋流动的限制条件,用场论中定义的旋度(rot)为零来表示。

如果处理的流体是不可压缩而且是无粘性的话,那麽上述问题就还原成 数学中求Dirichlet的边界条件了,也即寻找一个函数使其成为给定区域中一个指定的偏微分方程的解。然而,现在的体系不仅要考虑粘滞力,而且还要考虑由于压缩导致流体密度的改变。也就是说密度不再是常量,而是随流动速度而改变的。这意味着压强和密度都是坐标分量的复合函数了。这样四组关系的结果是二阶的非线性偏微分方程组。众所周知,偏微分方程(特别是非线性微分方程)的求解在数学上是相当困难的。然而,当流动体系处于跨音速区域时这个问题变得尤其复杂,因为对于部分区间来说,方程是椭圆型的;对于另一些区间,方程则是双曲线型的。显然这种混合型的非线性偏微分方程的求解是极其困难的。

通常处理这类问题有两种方法:第(1)种是Jansen-Rayleigh的逐次近似法;第(2)种是Glauert-Prandtl 的微扰法。当体系的临界马赫数较低时,这两种方法都能够提供很有价值的数据。然而对于临界马赫数高的体系,它们的收敛速度就太慢了。钱先生和郭先生采用了德国数学家Molenbroek 在1890年创立的速端曲线图变换法(hodograph transformation method)。我们知道有些数学问题在通常的坐标空间无法求解,可以通过数学变换(例如Fourier变换和Laplace变换),将体系置于某个特殊的数学空间,问题的解决就很方便了。速端曲线图变换也是一种类似的变换,其基本要义是将速度矢量的分量替代原来的座标分量作为方程中的独立变量。如上所述,在亚音速、超音速区域的二维可压缩无旋流动在通常的物理平面中是混合型的非线性偏微分方程,然而置放于速端曲线图平面上就成了线性方程,这样求解起来就方便多了。再用类似于逆变换的手段将在速端曲线图上得到的解转换到通常的物理平面上,上述难题就迎刃而解了。

简而言之,钱先生和郭先生的工作是将二维可压缩无旋体系的流动问题延伸到亚音速、超音速混合区域,取得了一个令人满意的结果。此外,钱先生和郭先生的这篇文章还有两个比较突出的贡献:他们利用超几何函数的渐近性加快了方程解的收敛速度;他们还发现当流场中的某点速度超过音速时,就没有数学的连续解了,他们称之为上临界马赫数(the upper critical Mach number )。 钱先生和郭先生这篇论文的工作量极大:全文分5个部分,25个小节,列出的算式达326个,在附录中又提供了他们得出的3个流体力学判据的数学证明,此外还包括了14张数值计算的表格和绘制的相应图线。毋庸置疑,钱先生和郭先生的工作做得相当出色,因此直到一个多甲子之后,还不断地被行内外的后人们广泛引用。

国内宣传资料中介绍钱先生在理论方面的贡献时都提及这篇文章,他们的评价是“与郭永怀合作最早在跨音速流动问题中引入上下临界马赫数的概念。”

这儿解释一下,所谓“下临界马赫数”(the lower critical Mach number )指的是当飞行物体周边区域的速度刚达到音速的瞬间,流场中自由流(the free-stream 即未曾受飞行物体影响的气流)的马赫数。钱先生和郭先生给出“上临界马赫数”的定义是当飞行物体周边区域刚出现极限线的瞬间,流场中自由流的马赫数。“极限线” (the limiting lines)指的超音速区域的边缘线。当飞行速度超过音速时,周围空气会被紧密地压缩在一起,形成激波,使压强突然升高,阻止了进一步加速,并可能导致剧烈的振颤对飞行器造成严重的破坏。钱先生和郭先生的导师Karman教授称之为飞行的“禁止区域”。用数学语言来说,沿着“极限线”从速端曲线图平面变换到物理平面时Jacobian式为零。用流体力学语言来说,当出现“极限线”时,无旋的状态不复存在。这也就是妇孺皆知的“音障”问题。

在我查阅过的所有文献中,引用钱先生和郭先生的这篇文章时都未曾提及“上临界马赫数”的概念,主要是援引他们借助超几何函数的渐近行为来加快收敛速度的建议。必须说明的一点是我所查阅的文章都限于一般流体力学领域,而不是航天和航空专业方面的,不知道“上临界马赫数”在这两个领域中的应用状况如何。

此外,我还想提一下另一位俄国的数学家兼物理学家Chaplygin [2]。其实,早在1904年他就利用速端曲线图变换法处理了二维可压缩无旋体系在亚音速区域中的流动问题。所以在很大程度上可以说钱先生和郭先生的工作是将Chaplygin奠定的结果延伸到亚音速、超音速的混合区间。顺便提一下,《维基》中介绍钱先生和郭先生的导师Karman教授科学生涯中最杰出的15项贡献中有2项是和钱先生联名的。其中一项是他们在处理势流问题时提出的近似方法,这种方法的正规名称是Chaplygin-Karman-Tsien approximation,也就是说 Chaplygin 的大名挂在他们师徒两人之前。其实说白了这种近似方法就是在等熵曲线上引切线:Chaplygin的切点选在流场处于停滞的状态;Karman-Tsien的切点则选在流场处于自由流的状态。据1962年物理学诺奖获得者Landau教授在他著的《Fluid mechanics》一书中介绍Chaplygin的论文早在1902年就发表了,Karman-Tsien的论文则是在1938年才发表的。

最后再提一句:钱先生和郭先生在他们那篇文章的扉页上署的工作单位是美国加州理工学院古根海姆航空实验室(Guggenheim Aeronautics Laboratory, CIT)而且写明这项研究是在NACA的基金资助下完成的,论文提交日期是1945年8月17日。

注释
[1] 郭永怀(1909 –1968)中国空气动力学家,山东荣成人。1935年北京大学物理系毕业,1939年考取中英庚子赔款出国留学名额,1940年赴加拿大多伦多大学应用数学系学习并获硕士学位。1941年到美国加州理工学院研究可压缩流体力学,1945年获博士学位后留任研究员。1946年起在美国康乃尔大学任副教授、教授。应钱学森之邀,1956年10月回国。1960年调任第二机械工业部北京第九研究所副所长。1968年12月5日,郭永怀从青海返回北京时,坠机身亡。1999年被授予研制“两弹一星”有突出贡献的科技专家,追认烈士。郭永怀的夫人李佩教授在“文革”时期被隔离审查,后来又被下放到安徽合肥,6年没回北京。他们的独女郭芹去内蒙古草原插队,由于身体不好,过早地离开了人世。
[2]Chaplygin(Серге́й Алексе́евич Чаплы́гин 1869 –1942)是俄罗斯的物理学家和数学家。他出身十分贫苦,父亲是一个小店的伙计,在他2岁那年就去世了。他是在极其艰难的环境中成长起来的。因为其杰出的才华,而受知于被尊为“俄罗斯航空之父”的 Zhukovsky 教授(Николай Егорович Жуковский 1847–1921)。由于Chaplygin在数学和物理学领域中的贡献,1899年他被授予圣彼得堡科学院的金质奖章,1924年当选为苏联科学院院士。Chaplygin教授长期在莫斯科大学执教,为苏联的航空和航天事业培养了不少人才。1957年10月4日人类第一次送上太空的人造卫星《Спутник一号》的实际主持人Sedov 教授 (Леони́д Ива́нович Седо́в 1907–1999)就是Chaplygin众多高足中的一位。为了纪念Chaplygin对于科学作出的贡献,月球上的一座环形山以他的姓名命名。

作者:断章师爷驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org


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