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分家问题和拍卖（更正版）

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标题: 分家问题和拍卖（更正版） (156 reads) 时间: 2002-10-16 周三, 下午4:00

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

分家问题和拍卖（更正版）

基本假设：(i)三兄弟中各人对房子（或汽车）的估值是他本人的private

information；又每个人，包括父亲，都认为其他人的估值在某区间[10, 30]上有独立

的均匀分布，用线性变换：r->(r-10)/20可将这区间规范化成[0, 1]；(ii)三兄弟同时

出价，出价最高者得到房子，按本人的出价付钱给父亲；(iii) 房子卖出后，钱给三个

儿子平分。

Nash 均衡解之定义：我们的目的是要找出一个出价函数（bidding function）b=b(v),

（又称bidding rule）；其中v是对房子的规范化后的估值，b是相应的出价，它使

得，当其他人都按这个bidding rule来出价时，自己的最优决策也是按这个bidding

rule来出价。

注解：由于基本假设中的(iii)，可以预料，bidding function不同于first price

sealed-bid auction的情况。在first price sealed-bid auction中，胜者得到房子，

但付出的钱完全拿不回来，而负者全无surplus；n个买者参与的first price sealed-bid

auction，其 bidding rule是：b=(n-1)v/n。比如说，n=3时，每个人的出价等于其

估值的2/3。在我们这个问题中，胜者除了得到房子外，付出的钱还可拿回1/3；而

负者可净得到胜者所付钱的1/3。

为不做繁琐的数学推导，我将直接验证b=3v/4是Nash bidding rule。假定兄弟中某人

A对房子的规范化估值为v，假定他叫价x。对A来说，当且仅当其他两兄弟的叫价

3v'/4和3v"/4都低于x他才会赢得房子，其中v’和v”是那两兄弟对房子的规范化估

值。注意到prob(3v'/4 >x)=prob(v?4x/3)=4x/3，prob(3v?4>x)=4x/3，又v?
和v踊ハ喽懒ⅰＫ

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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