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	主题: 五门悖论----可能出现换门吃亏不换门也吃亏的情形

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五门悖论----可能出现换门吃亏不换门也吃亏的情形

寒树
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标题: 五门悖论----可能出现换门吃亏不换门也吃亏的情形 (795 reads) 时间: 2001-11-09 周五, 下午11:45

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

换门问题还真是个有趣的问题。三门问题已经让人掉入陷阱了，五门问题就更是难以琢

磨。现在可以说，一般网友对三门问题应该说是耳熟能详了，但对我上次提出的五门问

题还是莫衷一是。我看到有两种主要的回答，可以说各有各自对的地方。我总结这两种

不同的解答，不曾想引出个悖论来，可能产生一种“换门吃亏不换门也吃亏”的有趣结

果，请网友们分析一下到底那儿出了问题？

有网友提出“逢门便换”的做法，初看似乎颇有道理，但仔细一想，便觉不妥。三门问

题之所以简单是因为只考虑一次换门，而五门问题则须考虑两次以上的换门，从而增加

了问题的难度。这里为了简单起见，我只讨论前两次换门。

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在五扇门后，一扇关了一辆汽车，另四扇各关了一头山羊。参赛者打开其中一扇门，是

什么得什么。第一次，参赛者随机选了一扇门，但暂不打开，姑且说是门1。这时，主持

人由于知道哪扇门里有汽车，便从没被选的四扇中打开一扇关羊的门，并问参赛者，如

果允许你此时换门，你还不还？我想大家会说，换。我看这第一次换门应当没什么争议。

问题出自第二次换门。而每扇门里关车的概率又跟主持人选开羊门的方式有关系。这里

我只提出两种主持人选开羊门的策略。

策略1：由于门2到门5里至少有三个是关了羊，那么，主持人从这些关羊的门里随机选一

扇门打开，比如说是门5，那么剩下的三扇门里关车的概率相同，都是4/15。于是参赛者

自然要换门。但具体换哪扇门区别不大。姑且说是门1换门2。然后主持人从门1，门3和

门4中任选一个有羊的门，并打开。如果打开的是门1，那么剩下的门3和门4里每个关车

的概率都是11/30，参赛者当然要选择换门了。如果打开的是门3，这时门1和门4关车的

概率分别是11/35和44/105，都比门2里关车的概率大，参赛者应当用门2换门4。暂时到

此。

策略2：在参赛者选了门1后，主持人只考虑从门4和门5中选一个有羊的门。由于车落在

门4或门5的总概率是2/5，那么在主持人打开其中一个有羊的门后，姑且说是门5，那么

门4关车的概率就变成了2/5。而门2和门3里关车的概率分别都是1/5。当然，参赛者并不

知道主持人只从门4和门5中选一个有羊的门，主持人也可能从门2和门5中选一个有羊的

门。但有一点是肯定的，就是换门不吃亏。如果换门的话，有1/3的机会把有车的概率

增加到2/5，而另2/3的机会保持有车的概率不变。假设参赛者运气好，恰巧选了那个有

2/5概率的门，即把门1换成门4。可惜的是参赛者本人并不知道自己换了一个好门。那么

剩下的门1，门2和门3都各有1/5有车的概率。这时，主持人再从这3个门中任意选一个

有羊的门，比如说是门3，那么剩下的门1和门2有车的概率就都变成了3/10，均比门2里

有车的概率要小。这时如果参赛者仍坚持“逢门便换”就要吃亏。

问题：参赛者并不知道主持人用策略1还是策略2来选有羊的门。所以参赛者是否应当换

门便成为不定因素。如果参赛者猜错了主持人所用的策略, 那么他或她就要吃亏. 请问，

到底有没有让参赛者不吃亏的策略？

http://www.hjclub.com/TextBody/4081.asp >五门问题

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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