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一个优美的定理《美丽境界》

Mew2
[个人文集]

加入时间: 2004/02/14
文章: 5070

经验值: 33

标题: 一个优美的定理《美丽境界》 (501 reads) 时间: 2002-3-17 周日, 上午5:04

作者：Mew2 在寒山小径发贴, 来自 http://www.hjclub.org

第十五章．

一个优美的定理

普林斯顿，1950-1951年

现在看来也许很奇怪，终有一天会为纳什赢得诺贝尔奖

的那篇学位论文没有得到足够的重视，为他在一流学术部门

争到一席之地。博弈论并没有在数学精英中激起多少兴趣或

尊敬，即便有冯·诺伊曼的声望也无济于事。实际上，纳什在

卡内基和普林斯顿的老师们对他隐约感到有些失望；他们原

本以为，这个曾经再次独立证明布劳威尔定理和高斯定理的

年轻人，一定会钻研拓扑学这类抽象领域的真正艰深的问题。

即便他最忠实的拥护者塔克也得出结论，认为纳什尽管可以

“自立于纯粹数学领域”，但这个领域却不是“他的强项所在”。

成功逃过应征人伍的威胁之后，纳什立即着手做一篇希

望可以为自己赢得一个纯粹数学家名声的论文。他的课题是

研究叫做流形的几何对象，当时这是数学家们很感兴趣的话

题。流形是观察这个世界的一种新方式，它是如此新颖，以至

于如何定义它有时也会难住一流的数学家。在普林斯顿，同

时代最出类拔萃的分析家之一和卓越的演说家博赫纳就常常

走进研究生的课室，先是给出一个流形的定义，接着绝望地陷

于困境，最后只好放弃，在进入下一个话题之前用一种恼怒的

语气说：“好吧，你们都知道流形是什么东西。”

在一维世界，流形可能是一条直线，．在二维世界里可能是

一个平面，也可能是一个立方体、一个气球或一个炸面圈的表

面。一个流形的具有定义性的特征在于，从这样一个东西的

任何一点看去，相邻之处看起来就像是绝对有规律的普通的

欧几里得空间。只要设想你缩小到只有针尖大小，坐在一个

炸面圈的表面，四下环顾，你就会发现自己看上去好像坐在一

个平直的碟子上。沿着一维往前走，坐在一个转弯处，邻近的

一段距离看上去就会像是一条直线。如果你被放在一个三维

流形上，不管它多么深奥难懂，与你紧密相邻的部位看起来就

会像一个球的内部。换言之，一个物体远远看过去会是什么

样子，可能与你的近视的眼睛看见的结果有差别。

到了1950年，拓扑学家在流形问题上大显身手，为眼前

所见的每个东西重新下了拓扑学的定义。流形的多样性和绝

对数目是如此困难的一个问题，以至于现在人们虽然已经给

所有二维的对象作出了拓扑学的定义，但是三维或四维的对

象(牵涉到字面上是无限大的分类)尚未得到精确的描述。流

形在多种物理问题中出现，其中一些是在宇宙学领域，常常变

成棘手的难题。一个著名的难题是由瑞典和挪威的国王奥斯

卡二世(OskarⅡ)在1885年一次庞加莱参加的数学竞赛中提

出的三体问题，需要预测诸如太阳、月亮、地球这样的任意三

个天体的轨道，流形在其讨论中大量涌现。

纳什在卡内基就被流形深深吸引，不过，看来他的想法直

到去了普林斯顿，并且开始和斯廷罗德定期交谈后才逐渐成

形。在纳什的诺贝尔奖得主自传中，他说大约是在得出n人

博弈的均衡结果的时候，也就是1949年秋天，他同时做出了

“一个精彩的发现，与流形和实代数簇有关”。这就是他在多

人参与的博弈的均衡想法遭到冯·诺伊曼冷遇后希望好好整

理成文，以便作为学位论文的那个结果。

这个发现的出现，远远早于纳什费尽苦心做出真正的证

明之时。纳什的头脑总是向后工作，他会深刻钻研一个问题，

在某一时刻闪现一种想法、一种直觉或正在寻找的答案的一

种想象。这些想法一般都会和这个仍在探讨的问题一起早早

出现，就像在上面这个例子里一样，有时可能在他通过长期努

力，找到一系列符合逻辑的步骤，引出他的结论以前很多年就

出现了。其他大数学家如黎曼、庞加莱、维纳也是这样进行工

作的。一位数学家在描述他对纳什的思维的看法时说：“他属

于那种数学家，他们的才华当中最突出的部分在于几何方面

的视觉洞察力。他可以在自己的头脑中将一个数学问题看作

一幅图画。数学家无论做什么都必须有一个严谨的证明加以

支持，然而这不是答案出现在他面前的方式。反过来，只是一

堆直觉的细碎线索，有待缝合一处。有些早期的想法就是直

观可见的。”

1950年9月，在斯廷罗德的鼓励下，纳什在剑桥举行的

国际数学家大会上发表了他的定理的短篇演讲，不过，从后来

出版的文摘来看，他的证明中仍然缺少一些必要的元素。纳

什计划在普林斯顿完成这个课题，对他来说，糟糕的是斯廷罗

德正在法国度假。莱夫谢茨毫无疑问仍在逼迫纳什尽快赶在

2月的年度就业市场开张以前完成这篇论文，现在敦促他立

即去找斯潘塞，依靠他的支持完成这篇论文，这位客座教授刚

刚担任过纳什的综合考试委员会成员，并且接受聘请暂别斯

坦福。

作为一名客座教授，斯潘塞拥有一间小小的办公室，挤在

阿廷的宽大的位于角落的办公室和费勒(William Feller)的同

样堂皇的书房之间。按照莱夫谢茨写给教务长的信的说法，

斯潘塞“也许是当时美国最具魅力的数学家”，也是“在美国出

生的最多才多艺的数学家之一”。斯潘塞是一个医生的儿子，

在科罗拉多州长大，并且被哈佛录取，准备到那里学医。但事

实却相反，他最终去了麻省理工学院学习理论空气动力学，后

来去了英国的剑桥，在那里成为哈代的大合作者李特尔伍德

(J．E．Lttlewod)的学生。斯潘塞在纯数学的一个分支复分

析方面做了一些杰出的工作，这个分支在工程领域有非常广

泛的应用。他是一个很受欢迎的合作者，最著名的合作是与

菲尔兹奖得主、日本数学家小平邦彦一起完成的。斯潘塞本

人获得博谢奖。虽然他基本上是在高度理论化的领域工作，

却对应用方面抱有一些兴趣，确切地说就是在流体力学方面。

斯潘塞生气勃勃，说起话来滔滔不绝，“有时会因为他的

那种什么都不在乎的干劲而令人畏惧”。他追求难题的胃口

漫无边际，集中注意力工作的劲头给人们留下了深刻的印象。

他酒量很大，能一气干掉五杯被戏称为“鸟澡盆”的大杯中的

马提尼酒，接着仍然可以口齿伶俐地讲赢其他数学家。斯潘

塞是一个用天生的活力掩藏其抑郁和自省倾向的人，他对抽

象事物感兴趣并对处于困境的同事有一种非同寻常的同情。

不过，他可从来不会乐意承受傻瓜的折磨。纳什的论文

初稿并没有使斯潘塞产生多少信心，让他相信这个年轻数学

家有能力胜任自定的题目。“我不知道他究竟想做什么，但是

我认为他什么也做不出来。”但是，在此后几个月里，纳什每星

期都要到斯潘塞的办公室去一两次，每次都会花一两个小时

向斯潘塞讲解自己正在研究的问题。纳什会站在黑板前面，

写下一些方程式，详细解释自己的想法，斯潘塞则会坐在一边

听讲，然后指出纳什的证明当中的漏洞。

斯潘塞最初的怀疑慢慢转化成尊敬。纳什面对他的最尖

锐挑战和最吹毛求疵的反对意见所表现出来的平静而专业的

态度，给他留下了非常深刻的印象。“他没有处于自卫状态，

完全被自己的工作吸引。他总是经过深思熟虑才回答。”斯潘

塞还因为纳什不会哼哼唧唧地抱怨而喜欢他。纳什从来不会

谈到他自己，“和其他感到被低估了的学生不一样，”斯潘塞回

忆说，“纳什从来不抱怨。”此外，随着斯潘塞听纳什讲话的时

间日益延长，他也越来越欣赏这个问题蕴藏的真正的独创力。

“这不是某人交给纳什解决的一个问题，人们从来没有交给纳

什任何题目。他具有高度的独创力，没有任何人可以想出这

个题目。”

数学上的许多突破，是由于观察到那些看上去相当棘手

的东西与数学家已经解决的问题之间的出入意料的关系而产

生。

纳什心中有一类范围相当广阔的流形，所有的流形都紧

(意思是说它们连接在一起，不会像平面那样进入无穷境界，

而是像球体那样自我封闭)而光滑(意思是说它们没有在一个

正方体的表面可以看到的那样尖锐的弯曲或急转弯)。他的

‘‘精彩发明”实际上就是这些对象比第一眼看上去更加容易处

理，因为它们其实与一类更加简单的叫做实代数簇的对象密

切相关，而这一点此前没有人想到过。

代数簇就像流形一样，也是整齐而有系统的几何对象，不

过它们是由一个代数方程描述的点的轨迹来定义的。举例而

言，符合y^2+x^2=1的点组成一个平面里的一个圆，而xy=1

就是一对双曲线。纳什定理叙述如下：对于任何光滑而紧的

k维流形M，R^{2k+1}中存在一个实代数簇V和V的一个连通分

支W，使得W是一个微分同胚于M的光滑流形。用平常的

话来说，纳什断言，对于任何一个流形，都有可能找到一个代

数簇，而这个代数簇的一个组成部分按照某种实质性的方式，

对应于原来的对象。为了证明这一点，他接着说，你不得不进

入更高维数的世界。

纳什的结果使人们大为惊奇，正如1996年提名纳什成为

美国科学院院士的数学家们所写的那样：“人们一直以为光滑

流形是远比代数簇更加普遍的对象。”今天，纳什的结果在数

学家看来仍然那么“优美”和“令人震惊”，虽然其实际应用还

是问题。“单单想出这个定理就已经很了不起，”麻省理工学

院数学系教授迈克尔，阿廷(MichaelArtin)说。阿廷和哈佛的

数学家梅热(BarryMazur)在1965年发表的一篇论文中，运用

纳什的结果估计一个动力学系统的周期点。

就像生物学家要找寻许多只有很微小差别区别开来的物

种，来追溯进化模式一样，数学家正设法填补不加修饰的拓扑

空间与代数簇这类设计精巧的结构之间的连续统的鸿沟。在

这个庞大的链条上找到一个缺失的环节，就像纳什得出这个

结果，就为解决问题开辟了新的道路。“如果你想象我和阿廷

所做的那样，解决拓扑学中的一个问题，”梅热最近说，“你可

以爬上这把梯子的一级，运用代数几何学的技巧。”

最让斯廷罗德、斯潘塞以及后来的阿廷和梅热这些代数

学家难以忘记的，是纳什大胆和鲁莽的行为。首先，提出每个

流形都可以被描述为一个多项方程式就是一个具有传奇色彩

的想法，哪怕只是因为流形的庞大数目和完全多样性使人们

觉得实在没有可能用相对简单的方式对其进行描述。其次，

一个人能证明这样一件事必然需要勇气，甚至还需要骄傲自

大。纳什瞄准的结果本身真是“太强大了”，因此可以说非常

悬乎，未必能够证明。事实上，纳什之前的数学家曾经注意到

某些流形和代数簇之间的关系，却只是当做非常特殊的情况，

对这些一致性作了很狭窄的紧扣问题的处理。

冬季来临时，斯潘塞和纳什都对进展感到很满意，认为这

个结果完全站得住脚，而且整个长篇证明的多个部分也确认

为正确无误。尽管纳什直到1951年10月才向《数学年刊》寄

出自己的一份定稿，斯廷罗德却早在2月就高度评价这些成

果，说这是“他已经接近完成的研究工作的一部分，我对此非

常熟悉，因为他把我当作咨询者”。斯潘塞认为博弈论非常沉

闷乏味，以至于在那一年的时间里从来没有问过纳什在博弈

论论文里证明的究竟是什么东西。

纳什的关于代数流形的论文是他本人惟一真正感到满意

的论文，尽管这并不是他最深奥难懂的作品，却为他树立了一

流纯粹数学家的形象。但是，这篇论文没能使他免遭那年冬

天的一次打击。

纳什曾经希望普林斯顿大学数学系会给他提供一个职

位。虽然系里明文规定不得录用本系的学生，但真正实践起

来却不会拒绝前途远大的人才。莱夫谢茨和塔克很可能暗示

过提供一个职位是非常可能的，尽管除了塔克之外，绝大多数

教授并不理解纳什的论文，也没有表示出任何兴趣，但他们却

知道经济学家对此非常推崇。

1月份，塔克和莱夫谢茨提交了一份正式的建议书，要求

聘请纳什担任助理教授一职。博赫纳和斯廷罗德大力支持这

个建议，不过，当然了，斯廷罗德没有参加讨论。但是，这个建

议注定要失败。在普林斯顿数学系这样小的地方，没有任何

安排可以不经全体同意就能通过，当时至少有三个人强烈反

对，其中包括埃米尔·阿廷。阿廷只是觉得自己不可能和纳什

共处于这样小的一个系里，他认为这个人气势汹汹、生硬粗

暴、傲慢自大。阿廷主持高等微积分课程，纳什曾在那里教过

一个学期，现在他抱怨说纳什根本不懂得怎样教书或与学生

相处。

于是这个安排终于没有实现。这是一个苦涩的时刻，纳

什一定认为他遭到拒绝与其说是基于他的工作，还不如说是

更多地基于他的性格。正是这同一个系，清楚地表明希望米

尔诺将来可以成为普林斯顿的一名教师，那时他还只不过是

本科三年级的学生，此事对纳什来说更是雪上加霜。

就业市场虽然没有大萧条时那样糟糕，却也相当令人沮

丧，因为朝鲜战争爆发导致大学裁减招聘计划。纳什知道，在

普林斯顿拒绝他之后，如果还能在一个受人尊敬的系里找到

一份临时的讲师职位，就已经算是很幸运了。

结果呢，麻省理工学院和芝加哥大学都有兴趣聘请纳什

担任讲师。麻省理工学院数学系的新主任马丁(William Ted

Martin)听取了博赫纳的意见，后者强烈要求他为纳什提供一

个讲师职位。博赫纳叫马丁不要理会纳什很难相处的流言蜚

语。与此同时，塔克也在敦促芝加哥做同样的决定。当麻省

理工学院向纳什提供一份C·L．E·穆尔(C．L．E．Moore)讲师

职位的时候，喜欢迁居剑桥的纳什欣然接受。

作者：Mew2 在寒山小径发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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