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 零做除数，天翻地覆 |
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河边
[个人文集]
警告次数: 1
加入时间: 2005/12/05
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作者：河边 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
零做除数，天翻地覆
坦白地说，敝人不懂数学。记得当年做工人时，曾经以为二分之一加三分之一就是五分之二！所以我一直对于“负负得正”、“零不能做除数”之类的问题感兴趣。感兴趣归感兴趣，不过到我已经活过了50年时我都不知道这些问题的答案是什么。一来因为我再没系统学习过数学，二来因为我发现不仅很少人知道这类问题的答案，而且很多人都认为这类问题“愚蠢”，所以我便不再去想这类“愚蠢”的问题。直到有一天我知道了原来世界上有愚蠢的答案却没有愚蠢的问题时，我这才开始又对自己曾有的很多问题寻找起答案来，兴趣逐渐转到“人是如何认知的”这个问题上。“零不能做除数”是在我学习认知理论时又重新想起的问题。
通过学习认知理论我才知道原来“真”有两类，分为事实真和逻辑真，纯数学是只管逻辑真的学问，但是也可以作为工具来分析事实，推导事实真。不过逻辑真与事实真是两回事，用数学推导出来的“真”有时与事实真一致，有时不一致，但不一致通常很少，并且是隐形的，不为人知，所以人们通常将逻辑真与事实真等同。这在一般生活中并没有问题，一是因为逻辑真与事实真不同的实例很少（如果逻辑是正确的），二来是隐形的，即使有我们也不知道就过去了。但是，我们永远难以接受明显可见的逻辑真与事实真相矛盾实例，一旦发生就会要么检查逻辑，要么核对事实。
数学因此可以作为工具来分析事实，归纳出规律，极大地提高人预见“真”的能力，其代价是我们也可能被误导。人的思维因此是很奇妙的东西，是人的自由的源泉，但同时也是幸福和灾难的来源之一。
既然纯数学是关于逻辑真的学问，那么“零能不能做除数”就是一个影响到逻辑自洽的问题，与事实无关。实际上，零作为一个概念，它不是事实的指称，因为事实必须是某种存在，而零说的是“没有”、“不存在”，所以零所指称的对象就不能成为研究的对象。我们学数学都从数数开始，伸出食指就可以从1数到10，没有人教孩子数数从零开始，因为孩子没法数零个手指或是零个苹果。
在逻辑皇帝亚里斯多德的逻辑系统里，零不仅不存在，而且是要反对的概念。这是因为亚氏的学问关注的是“真”，零作为“没有”、“不存在”当然是与“真”相矛盾的概念，属于谬误。几何学是严格使用形式逻辑的学问，几何学因此没有关于零的推理，希腊人继承了埃及人的几何学并将其系统化为完美的学问，但是希腊人拒绝零，所以不可能发展出代数。
代数来之阿拉伯人，据说阿拉伯人是通过军事扩张侵入印度后（或通过贸易）学了零的概念才发展出代数。这个事实说明，活在同一个地球上的人原来会通过思维产生出完全不同的概念。“生于无，归于空”是东方思想，所以零对于古代东方人是一个理所当然的概念，没有什么可怕之处。可是这样的想法不仅希腊人受不了，希伯来人也不能接受，因为他们的上帝是实在的，不是“无”，也不是“空”。在西方人眼里，佛教到底是宗教还是哲学因此成了一个问题。
阿拉伯人是先学了希伯来人和希腊人的思想后才学习印度人的零，所以花了力气来理解零，最终接受了零，很快发展出代数。印度人的数学虽然也发达，但终于没有发达到形成代数这样的系统；中国人也学了印度的零，也没有发展出代数。这中间的原因很复杂，恐怕现在还没有能够说清楚这个问题的研究。我猜测，其中一个原因是东方文化中缺乏严格的形式逻辑限制了自己发展具有严格形式的学问，例如几何学和数学，它们最终都必须依靠严格的形式推理。
再回到“零不能做除数”的问题。据说印度人不仅发明了零，还最早说出“零不能做除数”。在希腊人的“自然数”的概念里，零并不在其中。现代人对此有不同看法，有的认为自然数应当包括零。是否零应当算作自然数已经不重要，因为零反正是在整数集合内，最重要的是除法运算中零不允许用作除数。
算术起于加法，减法是加法的逆运算，乘法是同值多项式加法，除法则是乘法的逆运算。所以，对于z=x/y，就有x=z*y (y不为0)。这个“y不为0”是绝对条件，不能讲价，就是不能，永远不能。它不是一个如1+2=3那样一个可以进行逻辑证明的问题，而是一个我理解为人的逻辑思维存在的内在制约的问题，因为一旦0可以作为除数使用，它就可能导致整个逻辑系统的垮台。不信请看：
令x和y同为自然数，设x=y，则有
(1) x^2=xy，两边都减去y^2，得
(2) x^2-y^2=xy-y^2，
(3) (x-y)(x+y)=y(x-y)，
(4) x+y=y，
(5) x+x=x，
(6) 2x=x，
(7) 2=1。
于是，逻辑真与事实真的矛盾在这里成为显性的，当然是不能接受的。而上面的整个逻辑推理的过程是严格的，毫无问题，所以要保持对于我们思维的内在能力的信心，唯有拒绝上面的逻辑推理所含的“零做除数”（第(3)到(4)步）的条件，否则我们没法活在这个世界上。
红字为修改后增加，标题也做了改动，原为“零当除数”。
作者：河边 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
上一次由河边于2015-10-23 周五, 上午12:58修改，总共修改了1次 |
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