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主题: ZT:zltbaggio 芦笛先生的《關於“否定之否定”的笑話》的全文
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作者 ZT:zltbaggio 芦笛先生的《關於“否定之否定”的笑話》的全文   
断章师爷
[个人文集]






加入时间: 2009/08/25
文章: 615

经验值: 27036
文章标题: ZT:zltbaggio 芦笛先生的《關於“否定之否定”的笑話》的全文 (441 reads)      时间: 2010-5-07 周五, 下午2:41
作者：断章师爷 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org

芦先生：

窃以为你以马恩的这个数学上的错误做为例子来证明其荒谬是不太合适的，至少是苛求前人了。我觉得马恩的论述大致是代表了当时业余数学爱好者的平均水平的。

我 粗粗看了一下，觉得你对马恩的批评其实和贝克莱大主教早前对牛顿的批评是很相似的。这可以说是抓住了牛顿的命门。牛顿根本没折，只好装聋卖傻。在克莱因的 《数学，确定性的丧失》这本书里有收录了牛顿当年的“证明”，如果你看过，你会发现马恩只是用自己“哲学"的语言把它重新包装了一下。

牛 顿之后的数学家，本着先应用再论证的精神，把微积分应用到物理，尤其是力学，天文领域，取得了巨大的成果。可遗憾的是他们的结论往往是正确的，但“证明” 在今天来看都是错的。他们不是不知道微积分存着巨大的内在逻辑问题，只是谁也没有办法解决。但因为微积分的实用价值是在太大，没有谁舍得放弃，所以只好大 家一起揣着明白装糊涂，假装“不明真相”了。

这些数学家包括欧拉，拉格朗日，柯西，拉普拉斯，傅里叶，黎曼等当时也是人类历史上最伟大伟 大的数学家，这个在克莱因的书里有提到：今天任何一个数学本科生都有资格嘲笑这些巨擘根本不懂微积分，呵呵。比如你提到过的拉普赖斯，还有傅里叶，他们使 用级数的时候很少检验是否收敛的。

可以说，马恩和这些最牛逼的数学家犯同样的错误实在是没什么好遗憾的，因为无穷小这个问题实在是太难了。记得当年法兰西科学院曾悬赏征求“什么是无穷小”的最佳答案，可惜无解。

事 情直到魏尔斯特拉斯（weierstrass)的出现,才算出现转机，当然期间拉格朗日，柯西等也做出了巨大的贡献。老魏第一个给出了无穷小的严格定义。 更重要的是通过他的努力，所有牛顿微积分的结果都可以通过极限的概念来导出，再也不需要依赖无穷下这个“虚无缥缈”的东西了。我觉得这是非常非常重要的， 他把数学分析从无穷下的阴影下解放出来了。现代微积分教学，无穷小这个概念往往只是用来帮助对一些抽象的理解，而严格证明已经完全不需要它，也不应该要用 到它了。老魏和马恩差不多同时代，我觉得马恩不知道他的成果也算情有可原，毕竟他们也只是票友而已。再说要理解那些证明，不花几年苦工恐怕不行。马恩一心 扑在革命事业上，哪会有那份闲心啊。

但事情还没算完，实数轴（real line)其复杂程度实在是超出人的想象。老魏之后，又有牛人继续跟进。戴德金发明了戴德金切割法。康托发明了集合论。而勒贝格又石破天惊的发明了勒贝格 积分，这是既牛顿积分后又一种新的积分。其在理论上的应用已经超过牛顿积分。我觉得至此，人类对实数，极限，无穷小等等的理解才算告了一个段落。而这已经 是20世纪30年代的事情了。

我赞同芦先生对马恩的批判，但最好不要在自己也拿捏不准的领域。”无穷小“的历史其实也就是数学分析史，里 面很多东西绝不是三言两语说得清的，真要说起来非要搬出无数数学符号不可。我写这些字，也是想为马恩辩护一下：这真不是一个简单的问题！我劝芦先生不要在 这上面用劲了，有些问题不是直观上可以理解的，比如老魏曾经构造出一个处处连续处处不可导的函数（http://en.wikipedia.org /wiki/Weierstrass_function），你能想象吗？还有人因想这些问题想多了发神经病了，比如康托。他考虑的诸如整数集合和实数集合 哪个大之类的“病态”问题，其实这也和无穷小有密切关系。 如果芦先生一定想搞明白，最好是看数学分析（analysis)而不是普通的工科数学（calculus)课本。"这是既牛顿积分后又一种新的积分。其在理论上的应用已经超过牛顿积分",上面这句话有个错误，牛顿发明的积分后来往往称为黎曼积分，因为黎曼大大完善了其严密性。

还有，芦先生，你那个海纳百川真的是我见过最难注册的论坛。我每次注册都失败，直到没有邮箱地址可以注册了才作罢，不知道什么原因。

zltbaggio [150.203.145.*] @ 2010-5-7 9:41:17

我同意先生的看法：“例如將求導當成第一次”否定“，將不定積分當成第二次“否定”，這絕對是無恥詭辯，在任何時代都不可原諒。” 据我所知，牛顿好像也没有“將dx和dy與x和y混為一談”。

微积分理论逻辑上的不严谨本来是数学家们的一个痛处，而马恩不知深浅，竟把它用来做例子，我觉得这才是其愚蠢之处。

我上面胡乱写一点，也只是想给先生提供一些背景资料，以供参考。后来又想起一条资料，或许也可助先生了解当时普遍的数学水平，故摘录于下：

1890——1894年就读于剑桥三一学院的罗素在他的著作《我的哲学发展》中就曾写道：那些教我无穷小分析的老师找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念，就只好说服我充满信心地去接受那些公认的诡辩。

如果罗素所说不错，这段话至少说明在19世纪末，即使是在牛顿的故乡英国剑桥，对微积分的基本概念不求甚解的数学专业人士也是大有人在。

马 恩对于微积分的描述既外行又过时，如果想继续在他们的语言框架下讨论问题，mathematically speaking，是很难避免又犯下严密性错误的。但如果真用epsilon-delta语言，那就通篇是逻辑符号，不会有人感兴趣吧。所以为先生计，不 妨在此处放过老马，老恩了。他们固然荒谬，确也没有造成什么危害。好像没有什么正经科学家真的用他们的辩证法来搞研究。他们最大的危害还是在社会科学上， 还请芦先生痛下杀手。

btw，昨晚又在海纳百川论坛上尝试注册。系统说已经给我的邮箱发了确认信件，可我却没有收到，不知何故。不知是否有好心人能帮我？

作者：断章师爷 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
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