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簡介黃金分割率（Golden Ratio, or Golden Mean.）

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标题: 簡介黃金分割率（Golden Ratio, or Golden Mean.） (216 reads) 时间: 2003-8-05 周二, 上午5:19

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

黃金分割率有兩個比值﹕

Φ=(1+√5)/2=1.618033988749894848204586834365638....﹔

φ= (-1+√5)/2=0.618033988749894848204586834365638....﹔

Φ叫舊黃金分割率﹐φ叫新黃金分割率。

一）金矩形（Golden Rectangle ）

舊黃金分割率﹕

設原初矩形長邊為Φ﹑短邊為1﹔那麼﹐分割後餘下矩形的長邊就等於1﹐短邊等於

Φ-1。照定義要求兩矩形必須相似﹐即Φ/1=1/(Φ-1)﹔由此得出0=Φ2-Φ+1﹔依求

根公式[-b±√(b2-4ac)]/2a﹐Φ=(1+√5)/2=1.618...

新黃金分割率﹕

設原初矩形長邊為1+φ﹔兩矩形相似﹐即餘下矩形的長邊=1﹐短邊是φ。於是﹐1+φ

/1=1/φ﹔由此得出0=φ2+φ-1﹔依求根公式[-b±√(b2-4ac)]/2a﹐φ=(-1+√5)/2=0.618.

..

新舊黃金分割率之不同﹐在於所指對象﹕舊黃金分割率Φ指矩形的長邊比短邊﹐新

黃金分割率φ指短邊比長邊﹐兩者照定義是互為倒數﹐1是100%﹔√5=2φ+1表示一

正兩偏格局（見圖）。

從代數角度考慮﹐A) φ=1/Φ與B) Φ=φ+1乃是前提﹐

將A)代入B)﹐得Φ=1/Φ+1﹔即0=Φ2-Φ-1﹔Φ=(1+√5)/2=1.618...

將B)代入A)﹐得φ=1/(φ+1)﹔0=φ2+φ-1﹔φ=(-1+√5)/2=0.618...

二）金三角（Golden Triangle）。

從等腰三角底角引線﹐交於對邊分出兩個等腰三角形﹐謂金三角。

即﹐從A角引線交於對邊D﹐照定義要求AB=AD﹔ AD=CD。

兩等腰三角形共用底角B﹐ 所以相似﹔即﹐ BC/AB=AB/BD﹔

因為BC=BC+CD﹔ 所以﹐ (CD+BD)/AB=AB/BD﹔

又因AB=AD=CD﹐所以(AB+BD)/AB=1+BD/AB=AB/BD;

若φ=BD/AB﹐則上式可改寫為1+φ=1/φ。

0=φ2+φ-1﹐φ=(-1+√5)/2=0.618...　

這樣的等腰三角﹐其頂角必然是36o。

從金三角還可以推出“金五角”。

三）金線段

從線段分割考慮﹐黃金分割是要求所分線段具相同比值。

設原初線段為1﹐將1分成φ+(1-φ)後﹐照定義要求1/φ=φ/(1-φ)﹔

0=φ2+φ-1﹐φ= (-1+√5)/2=0.618...

這是最簡單﹑明了的解說。

無理數的性質

黃金分割率是個無限而不循環的數字。我們說﹐1/3雖然分不盡﹐但小數點後面都是

3的重復﹐因此是可知的﹐可用數列表達的﹔1/7分雖不盡﹐卻都是[142857]的循環﹐

也是可知的﹐可用數列表達的。這是分數的特點。黃金分割率0.618033988749894...則

是一個不重復﹑不循環的無理數﹐你就是用電腦計算一萬年也無法預知繼續分下去

會出現什麼數字。

無理數之困惑在於﹐你說它是真實的﹐卻不能用整數﹑小數或分數表示﹔你說它不

真實﹐我卻能用幾何工具把它畫出來﹐比如﹐用邊長為1的正方形畫√2的長度。常

言知易行難﹐人於無理數則是知難行易。而更難以置信的是﹐自然界大量存在著黃

金分割事例。可見黃金分割不單是人腦推理產物﹐它也是造物法則之一。

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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