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 对数学上一个典型“概率为零”问题的研究（转贴胡桢，给赛昆狼协上课） |
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安魂曲
[个人文集]
加入时间: 2004/02/14
文章: 12787
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作者：安魂曲 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
在数论中，有一条定理说：“素数的出现概率为零”。而另有一定理却说：“素数有无穷多个”。两条定理，竟然有截然不同的两种说法，孰是孰非，从未有人于以辨析。对于自然数列中的素数有无穷多个，证明时是以肯定的语句予以结论；而对于自然数列中的素数的出现概率为零，在证明时却是以不肯定的语句予以结论，用了一个“几乎”之词。毋庸置疑，问题乃出在“素数的出现概率为零”之定理上。
剖析“素数的出现概率为零”之定理的证明，关键在于无穷乘积∏(1-1/p)=0上。因为当x→∞时，π(x)函数中的取整之步骤已成多余，其中的N/p、N/n，n=p_1*...*p_r等都有无穷大之值，基数都与自然数集N一样，是可数的。显然，当x→∞时，只有以出现概率来替代取整之步骤，才是π(x)函数可以继续剖析的必要条件。当以出现概率来替代取整之步骤后，π(x)函数就只剩下了无穷乘积∏(1-1/p)这样的系数，所以，无穷乘积∏(1-1/p)是否为零，是素数的出现概率是否为零的关键。
那么，数论是如何来证明无穷乘积∏(1-1/p)=0的呢？且看书中说：
【引理4:无穷乘积∏(1-1/p)=0，此处p通过所有的素数。
证：如果引理不成立。由于1＞1-1/p＞0, 所以
∏(1-1/p)=a＞0
从而
1/a=∏(1-1/p)^(-1)
记N=2^t，这儿t=2([1/a]+1)。所以得
1/a=∏(1-1/p)^(-1)＞{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)
={∏p≤M}({∞∑i=0}1/{p_i})
＞{M∑(n-1)}1/n＞1+t/2=[1/a]+2＞1/a+1.
即1/a＞1/a+1。这是不可能的，因此引理成立。】(见王元著《谈谈素数》§12, 1978年11月出版)。
诚然，假设无穷乘积∏(1-1/p)=a是完全可以的，只要a不是个普通的常数(因无穷乘积∏(1-1/p)是一个循序渐进的数)。
但是，如果设M＝2^t,t=2([1/a]+1)，且存在乘积{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)，那么，再假设a=∏(1-1/p)就是谬误的。因为在复合函数M=2^t,t=2([1/a]+1)中，a是处于定义域之范畴。由于M＞t＞1/a(指数函数的性质决定了此不等式)，因此M的数值也就决定了a的取值范围。
当M为有限值时，1/a的定义域不可能为无穷大。我们用归纳法证之: 设{n∏i=1}(1-1/p)=a，M=2^t，t=2([1/a]+1)，且存在着有穷乘积{∏p≤M}(1-1/p)。
当n=1时，a=1-1/2=1/2，而M＝2^{2(2＋1)}＝2^6＝64，有1/2＞{∏p≤64}(1-1/p)，即2＜{∏p≤64}(1-1/p)^(-1)。
当n=2时，a=(1-1/2)(1-1/3)=1/3，而M=2^{2(3+1)}=2^8=256, 有1/3＞{∏p≤256}(1-/p)，即3＜{∏p≤256}(1-1/p)^(-1)。
依此类推，当n→∞时，正如引理4中后半段推断的那样，总有不等式{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)＞[1/a]+2＞1/a+1。
归纳法证明了{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)之值自始至终都比1/a之值大。
如果1/a取值无穷大，则M是比1/a更高级别的无穷大，这从极限论中无穷大量的比较上已经知道。
在复合函数的计算中，由于设定了M为有限值，且有M＞t＞1/a, 可知根本就不存在1/a的定义域为无穷大。换言之，引理4中所设定的t=2([1/a]+1)中的1/a已不再是前面所出现的1/a=∏(1-1/p)^(-1)，仅仅是符号相同而已。所以，并不存在所谓的1/a＞1/a+1，引理4也就无法成立。
其实，证明无穷乘积∏(1-1/p)＞0的方法很简单，展开乘积，有：
∏(1-1/p)=(1/2)*(2/3)*(4/5)*(6/7)*(10/11)...*((P_{n-1})/P_n)*...
＞Lim(1/{P_n})
这是由于{P_n}-1≥P_{n-1}，因此，在乘积之相邻的两个因式中，后一因式的分子总比前一因式的分母大(3-1=2除外)。
将分子与分母相约，保留所谓的最后因式之分母，显然有：
2*4*6*10*12*...*({P_n}-1)＞2*3*5*7*11*...*(P_{n-1})
即可得到上述之表达式。不管Lim{P_n}是否穷尽了素数，表达式：
∏(1-1/P_n)＞Lim(1/P_n)
是不会改变的。
乘积{n∏i=1}(1-1/P_i)＞1/P_n的结论在有穷值处一见就知，例如：
(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=8/30＞6/30=1/5
(1-1/2)(1/1/3)(1-1/5)(1-1/7)=48/210＞30/210=1/7
......
缘何在无穷乘积∏(1-1/p)处却称其等于零呢?无疑与无穷乘积∏(1-1/p)的循序渐进之性质有关。因为无论赋予什么样的无穷小量ε，在无穷乘积∏(1-1/p)的循序渐进之性质下，都会出现∏(1-1/p)＜ε之情况，所以在确定无穷乘积∏(1-1/p)之值时，才会有无穷乘积∏(1-1/p)=0之思辨。
然而，应该知道，无穷乘积∏(1-1/p)其实只是一个函数，是欧拉函数在无穷大处的反映。我们可以对函数求值，但不能以一个实数之值硬性地固定它；否则的话，函数也就变成了数值。在数论中，欧拉函数ψ(n)=n{∏p|n}(1-1/p)可计算出自然数列中不大于n的序列中与n互素的自然数之个数。例如：
ψ(10)=10(1-1/2)(1-1/5)=4；
ψ(30)=30(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=8；
ψ(49)=49(1-1/7)=42;
等等。然而，当n→∞时，欧拉函数的作用却被无穷乘积∏(1-1/p)=0 所淹没。换言之，在有穷值时，欧拉函数由于其计算的准确性，不可否认地被承认了。但当n趋向于无穷大时，由于其计算的功能被系数的无穷小值吓住了，搞不清无穷乘积∏(1-1/p)的值为几何，干脆让其等于零吧！
殊不知如此而为，却把本该由欧拉函数揭示的数论之精华遗弃了。
在引理4中，其假设了∏(1-1/p)中的p通过了所有的素数。这样的假设，将无穷乘积∏(1-1/p)依素数而循序渐进的性质给否定了，同时也将素数的个数有无穷多的定理给否定了。
退无穷步而言，就算我们承认引理4中的说法成立，那么在自然数集N中，穷尽了素数但合数总还存在吧！将这穷尽了的素数之乘积写出来，让其作为欧拉函数的n之值，显然其等于无穷乘积∏(1-1/p)的分母之值。
让n与分母相约，可以得到欧拉函数在无穷大处的数值是无穷乘积∏(1-1/p)中的分子之值也：由无穷多个素数各自减一而相乘的值也是一个具有无穷大之值的数，与数论求出的零值相去何其远矣！
我们知道，素数有无穷多个，而(1-1/p)反映的是与p互素的情况：
(1-1/2)反映的是与偶数互素的情况。
(1-1/5)反映的是与5互素的情况、等等。
而且这些函数都是可积的，所以才会有无穷乘积∏(1-1/p)。因此，任何固定无穷乘积∏(1-1/p)的作为都是违背了素数有无穷多个之定理，包括假设p可以通过所有的素数在内。
其实，在自然数集N中，2的倍数占自然数列的1/2，3的倍数占1/3，5的倍数占1/5，...。显然，素数p的倍数占自然数列的1/p。但彼此有交集。
根据数学公理中的罗素形式的选择公理：“让每一自然数属于且仅属于某一不空的商集化子集”。我们用最小素因数来分割。可以有:
π(2)的元素占1/2
π(3)的元素占1/3(1-1/2)
π(5)的元素占1/5(1-1/2)(1-1/3)
...等等。一般而言，在素数P_n的倍数中，筛去含小于P_n的素因数的元素，其商集化子集π(P_n)的元素占自然数集的比例是：
1/P_n{n-1∏i=1}(1-1/P_i)
则有
{∞∑n=1}1/P_n{n-1∏i=1}(1-1/P_i)
是无穷多个素数的倍数在自然数集N中的出现概率。
用1减之，可得与无穷多个素数互素的出现概率为：
1-{∞∑n=1}1/P_n{n-1∏i=1}(1-/P_i)
=1/2-{∞∑n=2}1/P_n{n-1∏i=1}(1-1/P_i)
=(1-1/2)(1-1/3)-{∞∑n=3}1/P_n{n-1∏i=1}(1-1/P_i)
=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)-{∞∑n=4}1/P_n{n-1∏i=1}(1-1/P_i)
=...=Lim{n-1∏i=1}(1-1/P_i)-Lim(1/P_n){n-1∏i=1}(1-1/P_i)
=Lim{n∏i=1}(1-1/P_i)={∞∏i=1}(1-1/P_i)=∏(1-1/p)。
可知，无穷乘积∏(1-1/p)仅仅是无穷多个素数的倍数之集合的补集之出现概率而已。与欧拉函数ψ(n)在有限值时之系数所示的互素性之出现概率，并无本质上的区别。
知道了无穷乘积∏(1-1/p)乃是无穷多个素数之倍数的补集之出现概率，由于受"每一个合数M必有一个不大于√M的素因数”之定理的约束，因此：
M∏(1-1/p)＞Lim(M/P_n)≥Lim(M/√M)=Lim(√M)→∞.
在自然数列中，与无穷多个素数互素的自然数的个数，仍有无穷多个。因此，素数是无穷的。
对自然数集N进行良序化，可以很好地将无穷乘积∏(1-1/p)的情况说明。首先，我们以诸素数为标识，列出一个有序数列：
2＜3＜5＜7＜11＜13＜17＜...＜p_n＜...
然而，以该数列的倒数，表出诸素数的倍数在自然数列中所占的比例：
1/2＞1/3＞1/5＞1/7＞1/11＞1/17＞...＞1/p_n＞...
根据选择公理，可知对自然数集N有良序化之链：
π(2)＞π(3)＞π(5)＞π(7)＞π(11)＞...＞π(p_n)＞...
根据“每一个不大于x的合数，都有一个不大于√x的素约数”之定理，可知，对于那些大于√x的素数所归纳的商集化子集中，只有唯一的素数为元素；换言之，自然数集N的良序化之链中存在着最小元素。这就意味着对自然数集N进行良序化的分割，下降之链中断于有限处；中断之处乃是在不大于√x的最大素数处。那些大于√x的素数所归纳的商集化子集，它们的出现概率都是相同的；而这些出现概率的总和，就是无穷乘积∏(1-1/p)，这在前面的计算中已经获得。
从无穷乘积∏(1-1/p)所代表的乃是良序化之链中那些最小元素的出现概率之总和中可以知道，素数的出现概率为无穷乘积∏(1-1/p)。
作者：安魂曲 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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