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代圣人言的高手

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代圣人言的高手 -- 一票友 - (1583 Byte) 2010-6-11 周五, 下午11:26 (359 reads)

zltbaggio

加入时间: 2009/02/08
文章: 16

经验值: 550

标题: 长度 (91 reads) 时间: 2010-6-12 周六, 下午12:01

作者：zltbaggio 在驴鸣镇发贴, 来自 http://www.hjclub.org

线段的长度不能通过点的数量来测度的。

试问[0，1]这个区间上有多少点？无穷个
又问[0，2]这个区间上有多少点？还是无穷个

那岂不是这两个线段有一样长度了？

事实上[0,1]和整个实数轴R上的实数（或者说“点”）的“数量”是“相同”的。世界上绝大部分实变分析的数学课本上都有给出证明。这就是所谓“部分等于整体”的悖论，好像最早是欧几里德就提出这个问题了。

所以数学里有专门研究如何定义长度，面积，体积的科目，叫测度论（measure theory）。在这个学科里首先定义了什么是“长度”，记得是要满足三个公理。只要满足这三个公理，就可以是一个合格“长度”。

但根据测度论的公理，宽度为0的线段长度应该就是0。因为宽度为0就是空集。而空集的“长度”必须为0.

测度论还可以回答以下的问题：所有整数的集合的长度是多少；[0,1]区间上所有有理数集合的长度是多少等等稀奇古怪的问题。

作者：zltbaggio 在驴鸣镇发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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