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 [转帖]網友對蘆笛《關於否定之否定的笑話》的批評 |
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看好牫
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加入时间: 2009/12/17
文章: 53
经验值: 1648
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作者：看好牫 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
芦先生：
窃以为你以马恩的这个数学上的错误做为例子来证明其荒谬是不太合适的，至少是苛求前人了。我觉得马恩的论述大致是代表了当时业余数学爱好者的平均水平的。
我粗粗看了一下，觉得你对马恩的批评其实和贝克莱大主教早前对牛顿的批评是很相似的。这可以说是抓住了牛顿的命门。牛顿根本没折，只好装聋卖傻。在克莱因的《数学，确定性的丧失》这本书里有收录了牛顿当年的“证明”，如果你看过，你会发现马恩只是用自己“哲学"的语言把它重新包装了一下。
牛顿之后的数学家，本着先应用再论证的精神，把微积分应用到物理，尤其是力学，天文领域，取得了巨大的成果。可遗憾的是他们的结论往往是正确的，但“证明”在今天来看都是错的。他们不是不知道微积分存着巨大的内在逻辑问题，只是谁也没有办法解决。但因为微积分的实用价值是在太大，没有谁舍得放弃，所以只好大家一起揣着明白装糊涂，假装“不明真相”了。
这些数学家包括欧拉，拉格朗日，柯西，拉普拉斯，傅里叶，黎曼等当时也是人类历史上最伟大伟大的数学家，这个在克莱因的书里有提到：今天任何一个数学本科生都有资格嘲笑这些巨擘根本不懂微积分，呵呵。比如你提到过的拉普赖斯，还有傅里叶，他们使用级数的时候很少检验是否收敛的。
可以说，马恩和这些最牛逼的数学家犯同样的错误实在是没什么好遗憾的，因为无穷小这个问题实在是太难了。记得当年法兰西科学院曾悬赏征求“什么是无穷小”的最佳答案，可惜无解。
事情直到魏尔斯特拉斯（weierstrass)的出现,才算出现转机，当然期间拉格朗日，柯西等也做出了巨大的贡献。老魏第一个给出了无穷小的严格定义。更重要的是通过他的努力，所有牛顿微积分的结果都可以通过极限的概念来导出，再也不需要依赖无穷下这个“虚无缥缈”的东西了。我觉得这是非常非常重要的，他把数学分析从无穷下的阴影下解放出来了。现代微积分教学，无穷小这个概念往往只是用来帮助对一些抽象的理解，而严格证明已经完全不需要它，也不应该要用到它了。老魏和马恩差不多同时代，我觉得马恩不知道他的成果也算情有可原，毕竟他们也只是票友而已。再说要理解那些证明，不花几年苦工恐怕不行。马恩一心扑在革命事业上，哪会有那份闲心啊。
但事情还没算完，实数轴（real line)其复杂程度实在是超出人的想象。老魏之后，又有牛人继续跟进。戴德金发明了戴德金切割法。康托发明了集合论。而勒贝格又石破天惊的发明了勒贝格积分，这是既牛顿积分后又一种新的积分。其在理论上的应用已经超过牛顿积分。我觉得至此，人类对实数，极限，无穷小等等的理解才算告了一个段落。而这已经是20世纪30年代的事情了。
我赞同芦先生对马恩的批判，但最好不要在自己也拿捏不准的领域。”无穷小“的历史其实也就是数学分析史，里面很多东西绝不是三言两语说得清的，真要说起来非要搬出无数数学符号不可。我写这些字，也是想为马恩辩护一下：这真不是一个简单的问题！我劝芦先生不要在这上面用劲了，有些问题不是直观上可以理解的，比如老魏曾经构造出一个处处连续处处不可导的函数（http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function），你能想象吗？还有人因想这些问题想多了发神经病了，比如康托。他考虑的诸如整数集合和实数集合哪个大之类的“病态”问题，其实这也和无穷小有密切关系。 如果芦先生一定想搞明白，最好是看数学分析（analysis)而不是普通的工科数学（calculus)课本。
作者：看好牫 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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